Занимательная математика для детей и взрослых

Множество курьезных, полезных и, конечно, интересных историй из мира цифр два профессора математики - Кристиан Хессе (Christian Hesse) и Карстен Шванке (Karsten Schwanke) - собрали в своей книге "От счастливого числа до ПИН-кода". В предисловии они обещают "объяснить тайны повседневной жизни" с помощью математики. Ну, например: какой самый опасный день года? почему в кошельке всегда собирается так много мелочи? можно ли разработать систему, чтобы с ее помощью выигрывать в рулетку? (спойлер: нельзя).

Многие из этих занимательных задачек, безусловно, будут интересны и взрослым, и детям. Скажем, такая: как установить, сколько рыб плавает в пруду?

Это, оказывается, довольно просто. Во всяком случае, теоретически. Во-первых, надо поймать, допустим, 50 рыб. Пометить всех, потом выпустить обратно в пруд. Через какое-то время поймать еще 50 рыб. Посмотреть, сколько среди них помеченных. Допустим, десять. Допустим также, что помеченные в первый раз рыбы распределяются в пруду равномерно. То есть доля помеченных рыб в пруду составляет 1:5. Всего рыб в пруду: 50х50 = 250.

Слишком много допущений? Но, в принципе, именно так вычисляют количество диких животных в тех местах (например, в непроходимых лесах или на огромной территории), где их просто пересчитать трудно.

Почему в часе 60 минут?

Одна из повседневных загадок, имеющая отношение к математике, - это то, как мы измеряем время и углы. В самом деле: везде господствует десятичная система счисления: 10 метров, шесть соток, сто рублей, - но в часе почему-то не сто минут, а шестьдесят. А окружность - 360 градусов (60х6), а прямой угол - 90 градусов (60+60:2). Почему?

Это остатки шестидесятеричной системы счисления, которой пользовались еще в III веке до н. э. древние шумеры, потом переняли вавилоняне, позже, в Средние века, использовали арабские астрономы, а в Европе - Карл Великий в своей денежной системе. Даже в Пруссии XIX века в талере было не 100 пфеннигов, а 360.

О происхождении шестидесятеричной системы существуют разные гипотезы, отчасти дополняющие друг друга. Одна говорит о том, что в Междуречье число 60 выбрали потому, что оно сочетало более древнюю 12-ричную систему и счет на пальцах (60=12x5). Но, пожалуй, самая вероятная гипотеза - та, о которой пишут авторы книги "От счастливого числа до ПИН-кода": наши древние предки выбрали за основу системы счисления и счета число 60 потому, что оно нацело делится на множество других чисел (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30) и при этом является сравнительно небольшим. Это, вероятно, главная причина многовековой популярности шестидесятеричной системы, дошедшей и до наших дней. Даже детям легко считать часы и минуты.

Парадокс дней рождения

Раз уж мы заговорили о вероятности, то вот вам вопрос на засыпку: сколько людей должно быть в группе - скажем, в школьном классе, - чтобы вероятность совпадения дней рождения (число и месяц) у каких-либо двух из них была больше 50 процентов? Казалось бы, ответ очевиден: 100-процентная вероятность - 365 человек, значит 50-процентная - 183 человека.

Неправильно. Всего 23. Это подсчитали математики, причем довольно легко. И даже дали этому название: парадоксы дней рождения. А считали, так сказать, обратное: какова вероятность того, что у всех 23 одноклассников - разные дни рождения? У первого - в какой-то из 365 дней года (високосные для простоты проигнорируем), у второго - 364 других возможности, у третьего - 363 и так далее до 23-го одноклассника. У него вероятность родиться в совершенно другой день - 343/365. Перемножим эти вероятности:

364/365 х 363/365 х 362/365 х ... 344/365 х 343/365 = 0,5. То есть 50 процентов!

Выходит, что среди участников каждого футбольного матча плюс судья вполне вероятно могут оказаться два человека, которые справляют день рождения в один день? Именно так. В сборной Германии на провальном для нее чемпионате мира 2018 года в России было как раз 23 игрока. И у двух их них - Никласа Зюле и Жерома Боатенга - день рождения действительно в один день, 3 сентября.

Особенность книги "От счастливого числа до ПИН-кода", которая делает ее чрезвычайно интересной и легко читаемой: авторы не замкнулись в мире цифр и вычислений. Здесь не только дроби, уравнения, квадратные корни, комбинаторика и так далее, но и увлекательные истории, связанные не с числами (или, скажем так, не только с числами), а с людьми. Так, одна из главок посвящена Софье Ковалевской - выдающемуся российскому математику, первой женщине, добившейся столь фантастических успехов в этой и сегодня преимущественно "мужской" области науки.

Стена Софьи Ковалевской

Для авторов Ковалевская интересна не только своими математическими достижениями, о которых они пишут чуть ли не вскользь, и не только своими тесными связями с Германией: по матери она была немкой (ее прадед, математик, астроном и геодезист, приехал в Россию в 1783 году) и училась в немецких университетах (в России женщин в высшие учебные заведения тогда не принимали). Больше всего в книге "От счастливого числа до ПИН-кода" рассказывается о том, как и почему Софья Ковалевская увлеклась математикой.

Причиной было одно курьезное обстоятельство. Когда семья отставного генерал-лейтенанта артиллерии, отца Софьи, поселилась в имении и там делали ремонт, на детскую комнату Софьи не хватило обоев. Тогда отец достал с чердака старые учебники, по которым он учился в университете, и стену оклеили страницами из пособия по высшей математике. Девочка, которой вообще мало занимались, часами проводила перед этой стеной - и так увлеклась математикой. А когда в 15 лет стала изучать дифференциальные исчисления, вспоминала формулы с этой стены.

Такой привычный лист бумаги

А вот это имя вам, наверняка, незнакомо, хотя вы, без сомнения, каждый день пользуетесь тем, чем мы обязаны этому человеку - Вальтеру Порстману (Walter Porstmann), немецкому инженеру и математику. В начале ХХ века он был помощником известного ученого-универсалиста, организатора науки, лауреата Нобелевской премии по химии Вильгельма Оствальда (Wilhelm Friedrich Ostwald), происходившего из остзейских немцев и родившегося в Риге (тогда - Российская империя). Для одной из монографий Оствальда его помощник Порстман использовал упомянутый за много лет до этого специальный формат бумаги с соотношениями сторон: 1 к квадратному корню из 2.

Надо сказать, что в те времена не существовало стандартизированных форматов бумаги, к которым мы привыкли сегодня, хотя попытки как-то упорядочить существовавший хаос предпринимались не раз. В 1389 году, например, итальянские типографы договорились в Болонье, что будут использовать всего четыре размера, и эти размеры даже выгравировали на мраморе. Но они были выбраны более или менее случайно, и о договоренности быстро забыли. В обороте по-прежнему находилось несколько десятков различных форматов!

А Порстману удалось в 1918 году раз и навсегда стандартизировать бумажный лист. Он принял упомянутое соотношение, а за максимальное основание так называемой серии "А" (так она обозначается и поныне) - лист площадью 1 кв. м. Это был лист А0. Половина его, то есть если перегнуть этот большой лист пополам, - А1. В свою очередь, половину А1 составлял формат А2 и так далее. Для нас самый привычный в обиходе - лист машинописной бумаги А4. Площадь этого листа, формат которого стал стандартным сначала в Германии, а потом и во всем мире, - 1/16 кв. м., размеры - 210х297 мм.

Этот стандарт поразительно упростил жизнь миллионам людей. Но не всем. В Канаде, например, он и по сей день не абсолютен. В результате там используются формуляры двухсот разных размеров, для пересылки которых приходится выпускать около 70 почтовых конвертов разного формата! Бедные канадцы!..

Смотрите также: